课程编号：ab071931018---19

课程名称：医用数学AI---AII

课程英文名称：Medical Mathematics AI---AII

学时/学分：140/9.0（课堂讲授120，习题课20）

课程类别：普通教育课程

课程性质：必修课

适用专业：七年制、八年制临床医学、口腔等专业

开课学期：第Ｉ---Ⅱ学期

考核方式：考试（闭卷）

一、课程的性质、目的和任务

医用数学A包括高等数学、工程数学。高等数学、工程数学课程是医科院校七年

制各专业学生一门必修的公共基础理论课。通过这几门课程，使学生在掌握一定的高等数学与工程数学的基本的知识和方法的基础上，逐步培养学生的最基本的数学素质(抽象概括问题的能力，逻辑推理能力，运算能力)和自学能力；并结合医学实例让学生了解数学在医药学中的一些简单的应用，从而进一步培养学生分析问题和解决问题的能力，提高他们的科学素养：严谨而具有逻辑性，并能从纷杂的数学据中，通过数学方法的自理抽象出科学的结论。总之，这几门课程是为培养我国现代化建设所需要的高层次医学人才服务的。

通过本课程的学习，使学生获得：

⑴ 一元函数微积分学；

⑵ 多元函数微积分学；

⑶ 常微分方程；

⑷ 线性代数；

⑸ 概率论。

等方面的基本概念、基本理论和基本运算技能的同时，为后续课程的学习奠定必要的数学基础。

二、本课程的教学基本要求

（一）、高等数学

1．绪论、函数、极限

⑴ 明确数学方法在医学定量研究中的作用；

⑵ 确立医学生学习数学的目的；

⑶ 了解数学在医学应用中的历史及发展动态；

⑷ 了解本课程历史、研究对象与方法；

⑸ 理解函数的概念。会求函数的定义域、表达式及函数值，了解分段函数的概念；

⑹ 理解和掌握函数的奇偶性、单调性、周期性和有界性；

⑺ 掌握基本初等函数的性质及其图形；

⑻ 理解复合函数的概念，熟练掌握复合函数的分解过程。了解初等函数的概念；

⑼ 理解极限的概念；会求函数在一点的左、右极限。了解函数在一点极限存在的

充要条件；

⑽ 了解极限的有关性质，掌握极限的四则运算法则；

⑾ 熟练掌握运用两个重要极限求极限的方法；

⑿ 理解无穷小量的概念，了解无穷大量的概念，掌握无穷小量的性质及无穷小量

阶的比较；

⒀ 理解函数在一点连续与间断的概念；会判断函数在一点的连续性；会求函数的间断点，并会判断其类型；

⒁ 了解闭区间上连续函数的性质；会用介值定理推证一些简单的命题；

2．一元函数的微分学

⑴ 理解导数的概念，了解导数的几何意义，会求分段函数的导数；了解函数的连

续与可导的关系，会求曲线上一点处的切线方程及法线方程；

⑵ 熟练掌握基本初等函数的导数公式、导数四则运算法则；

⑶ 熟练掌握复合函数的求导法则，了解反函数的求导法则；

⑷ 掌握隐函数求导法、对数求导法；

⑸ 理解高阶导数的概念，会求一些简单函数的n阶导数；

⑹ 理解微分的概念，了解可导与可微之间的关系。掌握微分的运算法则，会运用法则求函数的一阶微分；

⑺ 理解中值定理及其几何意义，会用该定理证明简单的不等式和恒等式；

⑻ 熟练掌握运用法则求“”、“”、“0·∞”、“∞-∞”、“1”、“0” 和 “∞”未定式极限的方法；

⑼ 会用导数判断函数的单调性，并证明简单的不等式；

⑽ 理解函数的极值、最值概念，掌握利用导数求函数的极值、最值的方法，并且会解简单的有关最值的应用问题；

⑾ 了解曲线的凸、凹和拐点的概念，会判断曲线的凸凹性，会求曲线的拐点；

⑿ 会求曲线的水平、垂直渐近线、斜渐近线；

⒀ 掌握函数绘图的基本步骤，会作出简单函数的图形；

⒁ 了解泰勒公式的有关概念，掌握展开方法。

3．不定积分

⑴ 理解原函数与不定积分的概念及其关系。掌握不定积分的性质，了解不定积分的几何意义；了解原函数存在定理；

⑵ 熟练掌握不定积分的基本公式及直接积分法；

⑶ 熟练掌握不定积分换元积分法（第二换元法中，主要介绍三角代换和倒代换）；

⑷ 熟练掌握不定积分分部积分法；

⑸ 了解有理函数的积分法；

⑹ 了解积分表及其使用方法。

4．定积分及应用

⑴ 理解定积分的概念及其几何意义；了解函数可积条件；掌握定积分的基本性质；

⑵ 理解积分上限函数的概念。熟练掌握对积分上限函数求导数的方法；

⑶ 熟练掌握牛顿—莱布尼兹公式，掌握定积分的换元法和分部积分法；

⑷ 掌握求平面图形面积、旋转体体积的方法，了解求平面曲线孤长、函数平均值的方法，了解变力沿直线所做的功的求法；

⑸ 理解反常积分的概念，掌握其计算方法；了解Γ函数的定义及其简单性质；会用

Γ函数求一些相应的无穷积分。

5．常微分方程

⑴ 理解微分方程及方程的阶、解、通解、特解、初始条件的概念。

⑵ 掌握一阶可分离变量微分方程的解法；了解可化为一阶可分离变量的齐次微分方程 和的微分方程的解法；

⑶ 掌握一阶线性微分方程的解法，了解贝努利方程的解法；

⑷ 会用降阶法解、和型微分方程；

⑸ 掌握二阶常系数线性齐次微分方程的解法；

⑹ 了解微分方程在医学方面的应用； 掌握“直接翻译法”建立数学模型的方法；

掌握一级过程的建模的问题；会建立医药学中简单的数学模型。

6．空间解析几何

⑴ 掌握空间直角坐标系的概念及空间两点间的距离公式；

⑵ 了解空间曲面的概念及其方程；

⑶ 知道平面、球面、母线平行于坐标轴的柱面的方程及其图形；

⑷ 了解空间曲线的概念及其方程；了解空间曲线在坐标平面上的投影；

⑸ 了解几个常见的二次曲面的概念及其方程：椭球面、双曲面（单叶双曲面、双叶双曲面）、抛物面（椭圆抛物面、双曲抛物面）旋转曲面及锥面；

7．多元函数微分学

⑴ 理解二元函数的概念，了解其几何意义，会求二元函数的定义域，并能用平面图形表示其定义域；了解多元函数的概念；

⑵ 了解二元函数极限的概念(计算不做要求) ；

⑶ 了解二元函数连续的概念(计算不做要求)，会求二元函数的间断点，了解有界闭区域上二元连续函数的性质；

⑷ 理解偏导数的概念，了解二元函数偏导数的几何意义；

⑸ 了解高阶偏导数的概念，掌握一阶、二阶偏导数求法；

⑹ 了解偏微分的概念，理解全微分的概念，了解全微分存在的充分条件；会求多元函数的全微分；

⑺ 了解全微分在近似计算中的应用；

⑻ 了解二元函数连续、可导与可微的关系。

⑼ 掌握二元复合函数的偏导数求法；

⑽ 掌握由方程所确定的隐函数的偏导数的求法；

⑾了解二元函数极值的概念；会求二元函数的无条件极值；

⑿了解条件极值的概念；掌握拉格朗日乘数法，利用此法会求条件极值；

8．多元函数积分学

⑴ 理解二重积分的概念，了解其几何意义；

⑵ 掌握二重积分的性质；

⑶ 掌握二重积分的计算方法：直角坐标系下化二重积分为累次积分的方法，极坐标系下化二重积分为累次积分的方法；

⑷ 能根据需要将累次积分形式的二重积分进行换序；

⑸ 会用二重积分解决简单的应用问题(限于求空间曲面的面积、空间封闭曲面所围成的立体的体积和平面薄板的质量)；

（二）线性代数

1．n阶行列式

⑴ 了解全排列、逆序数的概念；

⑵ 理解n阶行列式定义，掌握对角行列式、上（下）三角行列式及其结果；

⑶ 了解对换、转置行列式的概念，及对换的有关定理，掌握n阶行列式的性质；

⑷ 了解余子式、代数余子式的概念；掌握代数余子式的性质；

⑸ 掌握行列式按行（列）展开法则；

⑹ 掌握Cramer法则；并利用此法则会解线性方程组；

2． 矩阵及其运算

⑴ 理解线性变换、矩阵的概念，并了解两者之间的关系；了解几种特殊的矩阵：

n阶方阵、行矩阵、列矩阵、n阶单位阵、零矩阵、对角阵、负矩阵；

⑵ 掌握矩阵的加、减、乘运算法则及其运算规律；

⑶ 理解矩阵的转置、方阵行列式、逆阵的概念及其运算规律；了解矩阵的分块及

其运算法则；

3． 矩阵的初等变换与线性方程组

⑴ 了解矩阵的初等变换、初等方阵、标准型、奇异方阵、满秩方阵、降秩方阵的

概念；

⑵ 掌握矩阵秩、逆阵的求法，并能熟练求矩阵的秩、逆阵；

⑶ 了解线性方程组、解、通解、相容、不相容和增广矩阵的概念；

⑷ 掌握用初等变换解线性方程组的方法；

4．向量的线性相关性

⑴ 了解n维向量、零向量、负向量、向量组的概念；

⑵ 掌握向量的线性运算；理解向量的线性组合、线性相关与线性无关的概念；掌

握线性相关性的有关定理；

⑶ 了解向量组的等价概念及其性质；

⑷ 理解向量组的秩、最大无关向量组的概念及其有关性质；掌握矩阵秩的概念；

⑸ 掌握齐次、非齐次方程组的通解结构；

⑹ 理解向量空间，了解子空间、生成空间的概念；理解向量空间的基的概念；

（三）概率论

1．预备知识

⑴掌握排列与组合的常用公式；

⑵掌握集合的关系与运算；

2．随机事件

⑴ 明确随机试验及随机事件的基本概念和表示方法；

⑵ 掌握事件间的关系及运算，并能灵活运用；

⑶ 掌握基本空间的概念，理解事件与集合之间的关系。

3．随机事件的概率

⑴ 明确古典概型，几何概型试验，熟练掌握古典概率及几何概率的计算；

⑵ 理解事件的频率、概率的统计意义和二者之间的关系；

⑶ 理解概率的公理化体系及公理化定义，熟练掌握三条公理及常用的概率性质。

4．条件概率 事件的相互独立性及试验的相互独立性

⑴ 理解条件概率，掌握乘法公式；

⑵ 掌握全概率公式与贝叶斯公式，并能熟练运用；

⑶ 理解事件的相互独立性，掌握判断和应用的方法；

⑷ 明确重复独立试验，掌握二项概率公式，了解小概率事件实际不可能原理的用法；

5．一维随机变量

⑴ 明确随机变量、分布函数的概念，掌握分布函的性质及求法；

⑵ 明确离散型随机变量及其分布密度的概念，熟练掌握二项分布与泊松分布；

⑶ 明确连续型随机变量及其分布密度的概念、性质，熟练掌握正态分布及其计算。

6．二维随机变量

⑴ 了解二维随机变量的概念，掌握联合分布与边缘分布的定义、性质及计算；

⑵明确随机变量的独立性，掌握判断独立性的方法。

7．随机变量函数及其分布

⑴ 明确一、二维随机变量函数的概念，掌握随机变量函数分布的求法；

⑵理解De Moivre-Laplace中心极限定理及其应用。

8．随机变数字特征

⑴ 明确数期望的概念，掌握数学期望的性质、计算，及常见分布的数学期望；

⑵ 明确方差的概念，掌握方差的性质、计算，及常见分布的方差；

⑶ 了解协方差、相关系数的概念、性质及计算；

⑷ 了解切比晓夫不等式及大数定律的作用。

三、本课程的教学内容及学时分配

（一）、高等数学 （60+10学时）

1．绪论、函数、极限（6学时）

2．一元函数微分学（16+2学时）

3．一元函数积分学（不定积分、定积分）（16+4学时）

4．常微分方程（8+2学时）

5．多元函数微分学（空间解析几何简介、多元函数微分学）（8学时）

6．多元函数积分学（6+2学时）

（二）线性代数 （36+6）

1、n阶行列式（8学时）；

2、矩阵及其运算（6+2学时 ）

3、矩阵的初等变换与线性方程组（8+2学时）

4、向量的线性相关性（14+2学时）

（三）概率论 （24+4学时）

1、预备知识（2学时）

2、随机事件（2学时）

3、随机事件的概率（2学时）

4、条件概率 事件的相互独立性及试验的相互独立性（2学时）

5、一维随机变量（4学时）

6、二维随机变量（4+2学时）

7、随机变量函数及其分布（4学时）

8、随机变数字特征（4+2学时）

四、选用教材及主要参考书

1．选用教材：

⑴《医用高等数学》（第六版） 张选群主编 人民卫生出版社 2013年

（卫生部“十二五”规划教材，普通高等教育本科“十二五”国家级规划教材，全国高等医药教材建设研究会“十二五”规划教材，供基础、预防、临床、口腔医学类专业用）

⑵ 《线性代数》（第五版） 同济大学数学教研室主编 高等教育出版社 2007年

(普通高等教育“十一五”国家级规划教材)

⑶ 《概率统计简明教程》 同济大学应用数学系主编 高等教育出版社 2003年

（普通高等教育本科“十五”国家级规划教材）

2．主要参考书：

⑴《医用生物数学》 王颖 安国斌等主编，吉林科学技术出版社，2000年

⑵《高等数学》(第五版) 顾作林主编 人民卫生出版社 2011年

（卫生部“十二五”规划教材，全国高等医药教材建设研究会“十二五”规划教材，供药学类专业用）

⑶《高等数学》(第六版) 同济大学数学教研室主编 高等教育出版社 2007年

⑷《线性代数》 孙兰芬 陈一巾 浙江大学出版社 1996年

⑸《线性代数》 刘舒强 天津大学出版社 2002年

⑹《高等代数》 张禾瑞 郝鈵新编 人民教育出版社 1982年

⑺《高等代数教程》 王萼芳 清华大学出版社 1997年第一版

⑻《概率论讲义》 沈恒范编 人民教育出版社 1966年4月第一版

⑼《概率论与数理统计》 盛骤等主编 高等教育出版社 1979年3月第一版

⑽《概率论与数理统计教程》 杨永发主编 南开大学出版社 2000年11月第一版

五、教学方法和教学手段

课堂讲授为主，对部分章节辅以多媒体教学，不定期课堂测验。

六、关于大纲的说明

1．本大纲是根据卫生部颁发的教学基本要求，并结合我医学部的具体情况而制定的，是按教学基本要求中的最高要求制定的，执行时可适当调整。

2．本课程必须安排在第一学年，分两个学期。

第一学期：高等数学（60+10学时）；

第二学期：工程数学（线性代数36+6学时、概率论24+4学时）。

3．本课程的教学环境最好为多功能教室。

建议本课程考试权重平时成绩占20%，期末成绩占80%。