吉林大学本科生公共数学课程教学大纲

课程编号：ac13931001---3

课程名称：高等数学AI---AIII

课程英文名称：Advanced Mathematics AI---AIII

学时/学分：256/12.0（理论讲授192学时，习题课64学时）

课程类别：普通教育课程

课程性质：必修课

适用专业：计算机、软件、物理、材料、电子等专业

开课学期：第Ⅰ---Ⅲ学期

考核方式：考试（闭卷）

一、本课程的性质、目的和任务

高等数学课程是高等学校理工科各专业学生必修的一门重要的基础理论课。通过本课程的学习，使学生获得微积分（包括无穷级数和微分方程）的基本概念、理论和方法，为学习后续课程和进一步获得数学知识奠定基础。通过本课程的教学，培养学生的数学素质和抽象思维能力、逻辑推理能力、空间想象能力、运算能力和综合运用所学知识分析问题和解决问题的能力。目的在于为培养我国需要的高素质创新人才，满足社会的需要服务。

二、 本课程教学基本要求

1．函数 极限 连续

理解函数的概念；掌握函数的表示法；会画简单的分段函数的图形；会建立简单实际问题中的函数关系式。

理解函数的单调性、有界性、周期性和奇偶性；了解函数与其反函数之间的关系（定义域、值域、图形）；理解复合函数的概念；掌握基本初等函数的性质及其图形；理解初等函数的概念。

理解极限的概念；理解函数的左、右极限的概念；了解函数在一点处极限存在的充分必要条件。

掌握极限的性质和四则运算法则；掌握判断极限存在的两个准则，会用它们求极限；熟练掌握利用两个重要极限求极限的方法。

理解无穷小和无穷大的概念；掌握无穷小的比较方法，会利用等价无穷小代换求极限；掌握无穷小和无穷大的关系。

理解函数的连续（一点处、区间）的概念；了解一点处左、右连续的概念；了解函数在一点连续和极限存在的关系；会判断函数间断点及其类型；掌握初等函数在其定义区间上连续的性质。

理解闭区间上连续函数的有界性定理、最值定理和介值定理，会在实际问题中应用这些性质。了解一致连续的概念。

2.一元函数微分学

理解导数的概念；了解导数的几何意义，会求平面曲线在一点处的切线、法线方程；掌握可导性和连续性的关系；掌握基本初等函数的求导公式；掌握函数的四则运算求导法则和复合函数的求导法则，会求反函数的导数；了解左、右导数的概念，会求分段函数的导数。

理解高阶导数的概念，会求简单函数的n阶导数；掌握隐函数和由参数方程所确定的函数的一、二阶导数，会对数求导法。

理解微分的概念；掌握微分的运算法则，会求函数的微分；掌握可微与可导的关系；了解一阶微分形式不变性。

理解Rolle（罗尔）定理、Lagrange（拉格朗日）中值定理；了解Cauchy（柯西）中值定理；掌握用L’Hospital（洛必达）法则求未定式极限的方法；理解Taylor（泰勒）定理。

理解函数极值的概念；掌握用导数判别函数的单调性和求极值的方法；掌握求函数最值的方法和应用；会用导数判断函数图形的凹凸性和求函数图形的拐点；会求平面曲线的水平渐近线、铅直渐近线和斜渐近线；会描绘简单函数的图形；理解曲率和曲率半径的概念，会计算曲率和曲率半径。

3．一元函数积分学

理解原函数和不定积分的概念；掌握不定积分的基本公式；理解定积分的概念；掌握不定积分和定积分的性质及定积分的中值定理；理解定积分的几何意义；了解函数可积的充分条件。

理解变上限定积分所定义的函数的性质，会对其求导数；掌握微积分基本定理—Newton-Leibniz公式；掌握换元积分法和分部积分法；会求有理函数、三角函数有理式和简单无理函数的积分。理解两种反常积分的概念；会计算反常积分，会判断反常积分的收敛性。

掌握微元法；掌握用定积分求一些几何量和物理量的应用（平面图形的面积、平面曲线的弧长、旋转体的体积、平行截面面积为已知的立体的体积、功、引力、压力等）。

4．向量代数与空间解析几何

理解空间直角坐标系；理解向量的概念，掌握向量的坐标表示法，会求单位向量、方向数、方向余弦和向量在坐标轴上的投影；掌握向量的运算（线性运算、数量积、向量积和混合积）。

理解平面方程和直线方程的概念；会求平面方程和直线方程；会求平面与平面、平面与直线、直线与直线之间的夹角；会求点到平面、点到直线的距离；会判断平面与平面之间的位置关系（平行、垂直、）；会判断直线与直线之间的位置关系（平行、垂直、相交）；会判断平面与直线之间的位置关系（平行、垂直、直线在平面上）。

理解曲面方程和曲线方程的概念；了解常用的二次曲面方程及其图形；会求以坐标轴为旋转轴的旋转曲面及母线平行于坐标轴的柱面方程；了解空间曲线的参数方程和一般式方程；了解空间曲线在坐标平面上的投影，并会求其方程。

5．多元函数微分学

理解多元函数的概念；理解n维点集特别是平面点集的概念；理解二元函数的几何意义；了解二元函数的极限和连续性的概念；理解多元函数偏导数和全微分的概念；掌握偏导数和全微分的求法；掌握多元复合函数一、二阶偏导数的求法；掌握隐函数的求导法则。

了解全微分存在的充分条件和必要条件；理解方向导数与梯度的概念及其求法；了解向量值函数及其微分法。

了解空间曲线的切线和法平面及曲面的法线和切平面的概念，会求它们的方程；了解n元函数的二阶泰勒公式和二元函数的n阶泰勒公式；理解多元函数极值和条件极值的概念；掌握多元函数极值存在的必要条件和二元函数极值存在的充分条件；会求二元函数极值；会用拉格朗日乘数法求条件极值；会求多元函数的最值，并会解决一些应用问题。

6．多元函数积分学

理解二重积分的概念；了解重积分的性质和二重积分中值定理；掌握二重积分的计算方法（直角坐标、极坐标）；会计算三重积分（直角坐标、柱面坐标、球面坐标）；了解重积分的变量替换公式；理解第一类曲线、曲面积分的概念，了解它们的性质，掌握它们的计算方法；了解几何形体上积分的概念。

理解第二类曲线、曲面积分的概念，了解它们的性质，掌握它们的计算方法；了解两类曲线积分之间的关系；了解两类曲面积分之间的关系；掌握格林公式；；了解平面曲线积分与路径无关的条件；会求全微分的原函数；掌握高斯公式；了解斯托克斯公式；了解散度和旋度的概念；了解场论的初步知识。了解含参变量积分确定函数的概念和性质。了解反常重积分的概念。了解Γ函数和B函数的定义和性质。

会用重积分和两类线面积分求一些几何量与物理量（体积、曲面面积、弧长、质量、质心、转动惯量、引力功和流量等）。

7．无穷级数

理解数项级数收敛和发散的概念；理解收敛级数和的概念；掌握级数收敛的必要条件和级数收敛的基本性质；掌握几何级数与p-级数收敛与发散的条件；掌握正项级数收敛性的比较判别法、比值判别法，会根值法和积分判别法；掌握交错级数的莱布尼兹判别法；了解任意项级数绝对收敛与条件收敛的概念。

理解函数项级数的收敛域及和函数的概念；掌握幂级数的收敛半径、收敛区间及收敛域的求法；掌握幂级数运算规则，会求一些幂级数在收敛区间内的和函数；了解函数展开成Taylor级数的充分必要条件；掌握和的Maclaurin展式，会利用它们将一些函数间接展开成幂级数。

理解Fourier级数的概念；了解Fourier级数的收敛定理；了解三角函数系的正交性；掌握将以２π为周期的函数展开成Fourier级数的方法；了解将以2l为周期的函数展开成Fourier级数;会将函数展开成正弦级数和余弦级数。

８．常微分方程

理解微分方程及其解、阶、通解、初始条件、初值问题和特解等概念；掌握可分离变量的方程、齐次方程、一阶线性方程、伯努利方程和全微分方程；会用简单的变量代换解某些一阶微分方程；会用降阶法解高阶微分方程，形如：.。

理解线性微分方程的性质和解的结构；了解常数变易法；掌握二阶常系数齐次线性方程的解法；会解自由项为多项式、指数函数、正弦函数、余弦函数以及它们的和与积的二阶常系数非齐次线性微分方程；会解Euler方程；会应用微分方程解决一些实际问题。

三、本课程的教学内容及学时分配

1、函数的极限与连续性 (20+6学时）

2、一元函数微分学 (28+10学时）

3、一元函数积分学 (30+12学时）

4、向量代数与空间解析几何 (10+4学时）

5、多元函数微分学 (28+8学时）

6、多元函数积分学 (34+10学时）

7、无穷级数 (22+6学时）

8、微分方程 (20+8学时）

四、选用教材与主要教学参考书

选用教材

1、大学数学——微积分（上、下册）第二版，普通高等教育“十一五”国家级规划教材，李辉来等编，高等教育出版社2010年出版。

2、主要教学参考书

（1）高等数学（上、中、下），欧维义等编，吉林大学出版社，2000年出版。

（2）微积分（上、下），同济大学应用数学系编，高等教育出版社，2002年出版。